Algunos aspectos del caos en sistemas dinámicos con más de 2 grados de libertad

Resumen

En esta Tesis Doctoral se estudian dos sistemas fı́sicos realistas con, al menos, dos grados de libertad. El primero es la gota caminante (del inglés walking droplet), que consiste en una gota milimétrica de lı́quido que rebota sobre la superficie vibrante del mismo fluido, deformándola y generando ası́ un campo ondulatorio que la autopropulsa. El segundo es la dispersión elástica e inelástica de átomos por superficies metálicas corrugadas. Además se presenta un nuevo método basado en descriptores lagrangianos para la caracterización de los toros invariantes presentes en las regiones regulares de sistemas dinámicos, y se aplica este nuevo método, ası́ como el original, al estudio del segundo de estos sistemas. El trabajo realizado para cada uno de los sistemas estudiados es el siguiente: –Gota caminante En nuestro estudio, la gota caminante está sometida, además de al campo ondulatorio, a un potencial bidimensional cuártico (dinámica caótica). Hemos analizado el sistema de dos formas distintas: en la primera modelizando la fuerza que ejerce la superficie sobre la gota con una fricción de tipo Rayleigh y en la segunda haciéndolo mediante un término integral. En lo que respecta a la primera se ha elucidado la estructura de los atractores que gobiernan la dinámica del sistema. Además, se han calculado las funciones de densidad de probabilidad asociadas a trayectorias deslocalizadas, que aparecen como distribuciones similares a las densidades de probabilidad cuánticas. Respecto a la segunda, hemos demostrado que el modelo con el término integral presenta grandes analogı́as con la mecánica cuántica. Ası́, hemos construido un esquema de cuantización, donde se puede distinguir un patrón nodal claro que aparece en función del efecto de memoria de los sucesivos saltos de la gota caminante, de forma análoga a lo que ocurre con la energı́a en un sistema cuántico. Por último, con el objetivo de entender mejor el origen de la cuantización en el sistema, hemos comprobado que cuando la longitud de onda es la adecuada, el sistema cumple una condición de cuantización análoga a la de Bohr-Sommerfeld, lo que nos ha permitido calcular una constante hidrodinámica que juega el mismo papel que tiene la constante de Planck en la mecánica cuántica. –Dispersión elástica e inelástica de átomos por superficies metálicas corrugadas Se ha llevado a cabo un estudio de las colisiones de átomos de helio con superficies corrugadas de cobre, descritas mediante un modelo realista, tanto en la zona de dispersión regular como en la caótica. En relación con la primera, en esta Tesis se ha desarrollado una transformación del descriptor lagrangiano que permite su aplicación al estudio de la parte regular en sistemas dinámicos genéricos. La eficacia de la nueva herramienta se ha verificado primero aplicándola al potencial de Hénon-Heiles, un sistema paradigmático dentro de los sistemas dinámicos, pasando luego al estudio de la función de dispersión elástica de átomos de helio por superficies corrugadas de cobre. Por otra parte, también se ha aplicado el método de los descriptores lagrangianos en su versión original al estudio de la dinámica caótica en la dispersión inelástica, cuando los átomos impactan en superficies corrugadas vibrantes, debido a los fonones que existen a temperatura finita. Esto aumenta la dimensionalidad del sistema a 2.5 grados de libertad. La aplicación del método nos ha permitido distinguir las estructuras subyacentes en las regiones caóticas del espacio de fases, ası́ como etiquetar y clasificar la dinámica del sistema a diferentes temperaturas (amplitudes de la vibración). Por último, para tratar de entender cómo es la dinámica en estas estructuras, se ha construido una aproximación a las mismas en tres dimensiones, basada en el apilamiento de entramados homoclı́nicos a energı́a constante (dispersión elástica con dos grados de libertad) en la superficies de sección de Poincaré, lo que permite conjeturar que si la temperatura de la superficie (perturbación) es pequeña, las trayectorias del átomo incidente en el caso inelástico de mayor dimensionalidad se moverán aproximadamente por la misma, ya que ésta será robusta, siendo solo distorsionada pero no destruida por la correspondiente perturbación.